OEF Courbes paramétrées --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les courbes paramétrées.

Longueur d'arc paramétrée 2D

Calculer la longueur de la courbe paramétrée
,
entre et .
xrange , yrange , trange , arrow ,0,,0,10,grey arrow 0,,0,,10,grey plot skyblue,, trange , linewidth 3 plot blue,,
Veuillez donner votre réponse avec une précision d'au moins 4 chiffres après la virgule.

Point double cubique

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par
,
pour in [,]. Déterminez le point double de la courbe.
r=2.5 xrange -r,r yrange -r,r trange -2,2 fill 0,0,white arrow -r,0,r,0,10,grey arrow 0,-r,0,r,10,grey text grey,0.88*r,0.16*r,small,x text grey,0.07*r,0.95*r,small,y disk ,,8,red plot blue,,
Réponse : le point double est ( = , = )
correspondant aux deux valeurs de = et = .

Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.

Tangentes plates cubiques

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par
,
pour in [,].
Donnez une valeur de pour laquelle la tangente de la courbe est  :

Dans ce cas, cette tangente a pour équation = .

(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)

Tangentes obliques cubiques

La courbe paramétrée ci-dessous, est définie par
,
pour in [,].
Donnez une valeur de pour laquelle la tangente de la courbe est de la forme  :
= . Dans ce cas, on a = .

(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)

Longueur point double

Nous avons une courbe paramétrée ci-dessous, définie par
,
pour in [,]. Déterminez le point double de la courbe, ainsi que la longueur de la partie entre les deux passages au point double.
r=2.5 xrange -r,r yrange -r,r trange -2,2 fill 0,0,white arrow -r,0,r,0,10,grey arrow 0,-r,0,r,10,grey text grey,0.88*r,0.16*r,small,x text grey,0.07*r,0.95*r,small,y disk ,,8,red plot skyblue,, trange , linewidth 2 plot blue,,
Réponse : le point double est ( = , = )
correspondant aux deux valeurs de = et = .
La longueur de la partie de courbe est .
(Précision exigée : au moins 4 chiffres après la virgule.)

Points stationnaires

Soit la courbe paramétrée d'équations paramétriques


pour in [-1,1]. On écrit pour sur ,

Calculer le plus petit indice pour lequel est non nul. Que vaut ? Calculer le plus petit indice tel que les vecteurs et forment un système libre de . Que vaut ? Voici les vecteurs et que vous avez trouvé. Ils déterminent 4 quadrans I, II, III, IV .

xrange -(), yrange -(), segment ,,black segment ,, black fill , blue fill ,yellow fill ,grey fill ,orange dhline ,,black arrow (),(),()+1,(), 5, black arrow (),(),(),()+1, 5, black dvline ,,black linewidth 2 arrow 0,0,, 10, navy arrow 0,0,, 10,navy text black , , medium, vp text black , , medium, vq text black,,large, I text black, ,large, II text black, ,large, III text black, ,large, IV

Dans quel cadran se trouve la courbe lorsque est et proche de 0 : ? Dans quel cadran se trouve la courbe lorsque est et proche de 0 : ? Le point de paramètre 0 est un

Tangente et points stationnaires

Soit la courbe paramétrée d'équations paramétriques


pour in [-1,1]. Calculer un vecteur tangent à la courbe au point et donner l'équation de la tangente en ce point.

Tableau de variation alpha

Nous avons une courbe paramétrée , donnée par , pour in [,]. Voici les tableaux de variation des deux fonctions.
t
Parmi les courbes suivantes, laquelle correspond à ?
plot blue, A plot blue, B plot blue, C plot blue, D

Tableau de variation alpha II

Nous avons une courbe paramétrée , donnée par , pour in [,]. Voici les tableaux de variation des deux fonctions.
t
Parmi les courbes suivantes, laquelle correspond à ?
plot blue, A plot blue, B plot blue, C plot blue, D
Dans ce dessin de la courbe plot blue, disk ,,6,red , le point rouge correspond à une valeur . A quel intervalle appartient  ?
A. [,]   B. [,]   C. [,]   D. [,]
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