线性子空间练习 --- 介绍 ---

本模块目前收集了 8 个有关线性子空间的练习.

交的维数

填充: 设 F 是 维线性空间, 且设 , 是 F 的线性子空间, 维数分别是 和 . 则 至少 , 至多 .

方程组定义的子空间维数

设 E 是 R 的由齐次线性方程组定义的线性子空间. 这个方程组有 个方程, 其系数矩阵的秩等于 . 问 E 的维数是多少?

和的维数

填充: 设 F 是 维线性空间, 且设 , 是 F 的线性子空间, 维数分别是 和 . 则 至少 , 至多 .

子空间的基

填充: 设 F 是 维线性空间, B 是 F 的基. 设 是含 个元素的子集, E 是由 生成的 F 的线性子空间. 则 dim(E) 等于 .

子空间的基 II

填充: 设 F 是 维线性空间, B 是 F 的基. 设 和 是 B 的两个子集, 分别含 和 个元素. 假设

有 个元素. 设 与 是分别由 和 生成的 F 的子空间, 且 .

则 等于 .

子空间维数

填充: 设 E 是 RR 的线性子空间, . 则 dim(E) 等于 .

矩阵子空间维数

填充: 设 M× 是由 RR 上 × 矩阵构成的线性空间, E 是 M× 的线性子空间, 由满足 =0 的矩阵 A 构成, 这里的 B 是 × 的非零矩阵. 则 dim(E) 至少 , 至多 .

子空间的扩张

设 F 是一个 维线性空间, E 是由集合 S 生成的 F 的子空间, 其维数 . 设 v 是 F 的向量, 它 S 内向量的线性组合, 且设 是由 生成的 F 的子空间. 问 的维数是多少?
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