Calcul intégral en Terminale S --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 7 exercices sur le calcul intégral et ses applications géométriques.

Aires et intégrales

On considère une fonction polynôme de degré 2, , définie sur par , dont la représentation graphique est donnée ci-contre.
La partie du plan, notée , coloriée en vert dans le graphique, est définie par les équations et .

Aire entre deux courbes

La partie du plan coloriée en vert, notée , est définie par les équations et .
.

Détermination d'une aire donnée

On considère la fonction , définie par , dont la représentation graphique est donnée ci-contre.
On note la partie du plan, coloriée en vert, et définie par les équations
et .
Pour quelle valeur de l'aire de est-elle égale à unités d'aire ?
Cette aire est égale à unités d'aire pour .
La valeur attendue est la valeur exacte de .

Primitives de fractions rationnelles

On considère la fonction , définie par .
Déterminer deux réels tels que .
Effectivement, la fonction peut s'écrire sous la forme .

On se place sur un intervalle où et . Déduire de ce qui précède une primitive de

Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
Mettez * pour les multiplications.

Intégration par partie

Cet exercice comporte quatre étapes.
On considère la fonction définie par .
On se propose de calculer en utilisant une intégration par partie.
A cette fin, on pose et .
Question 1 : On calcule alors et . Question 2: Oui, et .Dans ces conditions, on calcule :
.
Question 3: Enfin, on calcule l'intégrale . Question 4: Les égalitées vues précédemment d'une part et d'autre part, permettent finalement de calculer :
.

Primitives des fonctions usuelles

Cet exercice comporte trois étapes.
On considère la fonction , définie par . On se propose de calculer l'intégrale .
Étape 1:
On pose ,
.
Étape 2:
En effet, est de la forme . On a de plus:
=
Une primitive de sur est donc:
.
Étape 3:
En effet , définie par est bien une primtive de sur .
On en déduit que:
.

Primitives de fractions rationnelles II

On considère la fonction , définie par .
Vérifier que le dénominateur ne s'annule pas et que par conséquent il peut s'écrire avec :
et (pour choisir la valeur positive).
Effectivement, on a . Montrer que peut s'écrire avec :
et .
Grâce à l'écriture on en déduit qu'une primitive de est :
.
Pour entrer la réponse, on utilise les conventions suivantes :
La fonction logarithme népérien s'écrit log. Par exemple, on tape log(2) pour écrire le réel ln(2).
La fonction arctangente s'écrit atan. Par exemple, on entre atan(2) pour écrire le réel .
Mettez * pour les multiplications.
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