Ensemble de définition d'une fonction

I Définition
II Exemples

Voici quelques exemples d'ensemble de définition, notion qui est évoquée dans le programme de seconde.

I Ensemble de définition d'une fonction : définition

II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

I Ensemble de définition d'une fonction : définition

I Définition
II Exemples

Définition

L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction

f

est appelé ensemble de définition de la fonction

f

. De façon formelle, soit

f

une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de

f

est l'ensemble des réels

x

pour lesquels l'image

f (x)

existe ou pour lesquels

f (x)

a un sens.

L'ensemble de définition d'une fonction

f

est souvent noté

D f

Exemple

Soit

f

la fonction de la variable réelle

x

définie par

f (x) = 2 x + 1

. Son ensemble de définition est libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

ℝ

Exemple

Un melon coûte

2

euros pièce. On désigne par

p

la fonction qui associe à un nombre

x

le prix

p (x)

x

melons. L'ensemble de définition de

p

est libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

ℕ

car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction

p

est

p (x) = 2 x

Découverte : Correspondance

Ensemble de définition d'une fonction → I Définition

II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

I Définition
II Exemples

Voici quelques aides pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.

II-1 Intervalles

II-2 Fonction affine

II-3 Fonction trinôme

II-4 Fonction quotient

II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples

Les ensembles de définition sont souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles. L'écriture des réunions d'intervalles obéit à quelques règles simples. Elles sont explicitées dans l'aide de l'exercice 2 de cette page par son auteur Véronique Royer. Nous les rappelons ici.

Les intervalles doivent être maximaux.
Les intervalles doivent être deux à deux disjoints.
Leur écriture doit suivre l'ordre des réels.

Exemple

L'écriture attendue de libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

E = ℝ^{*}

E =] - ∞, 0 [\cup] 0, + ∞ [

On pourrait écrire : libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $E =] - ∞, 6 [\cup [6, 0 [\cup] 0, + ∞ [$ mais dans cette écriture les intervalles ne sont pas tous maximaux.
On a également : libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $E =] - ∞, 7] \cup [6, 0 [\cup] 0, + ∞ [$ mais avec cette écriture les intervalles ne sont pas tous deux à deux disjoints.
Dans l'égalité : libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $E =] 0, + ∞ [\cup] - ∞, 0 [$ , l'écriture ne reflète pas l'ordre des réels (par convention on écrit les plus petits nombres à gauche des plus grands).

Pour réviser :

Ecriture des intervalles (1)
Ecriture des intervalles (2)

II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-1 Intervalles

II-2 Fonction affine

I Définition
II Exemples

Une fonction affine est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

ℝ

Exemple

La fonction

f

de la variable réelle

x

définie par

f (x) = 5 x + 3

a pour ensemble de définition libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

ℝ

Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine

II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-2 Fonction affine

II-3 Fonction trinôme

I Définition
II Exemples

Une fonction trinôme est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*)

ℝ

Exemple

La fonction

g

de la variable réelle

x

définie par

g (x) = - x^{2} + 5 x - 7

ℝ

II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-3 Fonction trinôme

II-4 Fonction quotient

I Définition
II Exemples

Si la formule qui permet de calculer l'image

f (x)

du réel

x

contient un quotient, on doit exclure de l'ensemble de définition

D f

les valeurs qui annulent le dénominateur de ce quotient. En effet, le quotient par zéro n'est pas défini.

Exemple

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par $f (x) =$ .

Elle est définie quand son dénominateur n'est pas nul, c'est-à-dire pour tous les $x$ différents de $5$ et seulement ceux-là. L'ensemble de définition de la fonction $f$ est

libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $D f =] - ∞, 5 [$ cup libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $] 5, + ∞ [$

Pour s'entraîner :

Ensemble de définition d'un quotient , première étape.
Ensemble de définition d'un quotient , par étapes.
Ensemble de définition d'un quotient , sans étape intermédiaire.

II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-4 Fonction quotient

II-5 Fonction racine carrée

I Définition
II Exemples

Si la formule qui permet de calculer l'image

f (x)

du réel

x

contient une racine carrée, l'ensemble de définition

D f

ne contient que les valeurs pour lesquelles la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle. En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.

Exemple

Soit $f$ une fonction de la variable réelle $x$ définie par libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $f (x) = \sqrt{- 7 x + 35}$ .

La fonction est définie pour tous les $x$ tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci.
La quantité est positive ou nulle si et seulement si $- 7 x$ est supérieur ou égal à $- 35$ . Comme le coefficient de $x$ est négatif, cette inégalité est équivalente à libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $x \leq 5$ .

Sur la figure, on a tracé le graphe de la fonction $g$ définie de libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $ℝ$ dans libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/mt19937ar.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/math.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/liblines.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/levelcurve.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/evalue.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) libgcov profiling error:/var/lib/wims/src/Lib/libwims.gcda:Version mismatch - expected 12.2 (release) (B22*) got 14.2 (release) (B42*) $ℝ$ par $g (x) =$ . L'ensemble des $x$ tels que est positif ou nul est représenté en vert.

Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une racine carrée

II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée

Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-5 Fonction racine carrée

définition et exemples pour la classe de seconde.
: functions, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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